Dimostrazione dell'irrazionalità di radice 2

Dimostrazione

La è un numero irrazionale ossia un numero che non si può esprimere in forma di frazione (a / b con a e b numeri interi). Questa proposizione può essere dimostrata utilizzando il metodo della dimostrazione per assurdo: si presuppone vera l'affermazione contraria (la può essere espressa da una frazione) e si mostra che questa porta ad una contraddizione.
Per comprendere alcuni passaggi di questa dimostrazione occorre tener presente che:

un qualsiasi numero naturale moltiplicato per 2 produce un numero pari (a);
un numero naturale pari n può essere rappresentato come n = 2 · k, con k numero naturale (a1);
se il quadrato di un numero n è pari anche n è pari (b);
una frazione può essere ridotta ai minimi termini con un numero finito di passaggi (c).
in Logica matematica se un proposizione P è vera la sua negazione è falsa e viceversa

Partiamo con la dimostrazione.

D01	Consideriamo la proposizione "la non può espressa da una frazione" (P1) e la sua negazione "la può essere espressa da una frazione" (P2).Incominciamo la dimostrazione affermando che la P2 è vera (inizia la dimostrazione per assurdo). Se la si può esprimere come frazione allora scriviamo

	(1)
	dove m/n è una frazione ridotta ai minimi termini (dove m e n sono numeri naturali primi tra loro per cui non possono essere entrambi pari) che rappresenta il risultato dell'estrazione della radice quadrata di 2 per cui...
D02	... elevando al quadrato si deve ottenere 2 , ossia
	... elevando al quadrato si deve ottenere 2 , ossia
	(2)
	Da questa eguaglianza si ottiene che
	(3) m² = 2 ·n²
	per cui m² è pari (per la premessa a ) e anche m è pari (per la premessa b ).
D03	Essendo m pari allora può essere ottenuto moltiplicando per 2 un numero naturale k (premessa a1) ossia
	m = 2 · k e m² = (2 · k)² da cui
	(4) m² = 4 · k²
D04	Sostituendo m² nella (3) con il valore trovato nella (4) otteniamo
	4 · k² = 2 ·n²
	Le proprietà delle eguaglianze ci permettono di dividere entrambi i membri per 2 ottenendo
	2 · k² = n²
	Questo ci porta a concludere che anche n² (premessa a) è pari e, quindi, anche n.
D05	In D01 avevamo però affermato che m e n erano primi tra loro, per cui non possono essere entrambi pari: abbiamo una contraddizione con l'ipotesi di partenza (P2) per cui P2 è falsa. In logica se una proposizione è falsa la sua negazione è vera per cui è vera la P1 (la non può espressa da una frazione).

Questa dimostrazione (che in questa scheda è data adoperando il linguaggio matematico moderno) è dovuta ad Euclide, matematico greco vissuto attorno al 300 a.C. ad Alessandria d’Egitto, uno dei massimi centri della vita commerciale e intellettuale dell’antichità, nel quale istituzioni come la Biblioteca e il Museo custodivano manoscritti provenienti da tutte le parti del mondo.
Non si conosce molto della vita di Euclide ma le sue opere, in particolare gli Elementi, costituiscono un contributo fondamentale alle conoscenze matematiche.
Gli Elementi furono il testo guida della Matematica per numerosi secoli e, ancora oggi, una parte della geometria si basa su quest'opera.
Euclide fonda tutta la conoscenza geometrica su cinque assiomi (proposizioni considerate comuque vere) e da questi fa discendere tutte le altre affermazioni della geometria (i teoremi).
L’opera comincia con le definizioni di punto, retta e circonferenza, poi vengono introdotti i cinque postulati i quali affermano che:

si può tracciare una linea retta da un punto qualsiasi ad un altro punto qualsiasi;
si può prolungare una linea retta finita da entrambe le parti;
si può disegnare una circonferenza con centro e raggio qualsiasi;
tutti gli angoli retti sono congruenti;
Se una linea retta, incidente su altre due linee rette, rende gli angoli interni da una stessa parte maggiori di due angoli retti, allora, prolungando indefinitamente le due linee rette, esse si incontreranno dalla parte in cui gli angoli formati dalla retta incidente risultano minori di due angoli retti.

Il quinto postulato è conosciuto sotto un'altra forma: "per un punto passa una ed una sola retta parallela a una retta data".
Gli Elementi sono divisi in 15 libri di cui i primi 13 composti da Euclide e i rimanenti 2 da altri autori.

In matematica, una dimostrazione è un ragionamento che permette, a partire da certi assiomi (proposizioni che si considerano vere), di stabilire che un'asserzione è necessariamente vera. L'affermazione che viene dimostrata si chiama teorema.
Una volta dimostrato, il teorema può essere utilizzato come base per dimostrare altre asserzioni.
Esistono varie tecniche di dimostrazione tra cui quella per assurdo: con questa metodologia, se si vuole dimostrare che una certa proprietà p è vera, si parte con il prendere come vera la negazione della proprietà p e si arriva, con una serie di ragionamenti, a mostrare che questo porta ad una contraddizione per cui p è vera.
Un'asserzione che è supposta vera ma che non è stata ancora dimostrata è chiamata congettura.

Ricorda che le eguaglianze sono scritture del tipo a = b che sono vere solo se a è identico a b (per esempio 3 = 7 - 4; a ⁴ = a² · a²). Vengono chiamati membri dell'uguaglianza ciò che si trova da parti opposte dell'uguale e termini i singoli componenti.
Esse hanno queste proprietà:
Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di un eguaglianza lo stesso valore si ottiene un'eguaglianza.
Esempio: se a 3 + 4 = 5 +2 aggiungo 2 ottengo a 3 + 4 + 2 = 5 + 2 + 2 ossia 9 = 9
Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero tutti i termini di un'eguaglianza si ottiene ancora un'eguaglianza.
Esempio: se divido per 2 i termini di 6 + 4 = 8 + 2 ottengo (6:2) + (4:2) = (8:2) + (2:2) ossia 3 + 2 = 4 + 1.