Insiemi

Tavola riassuntiva

Definizioni
Insieme	Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi, che hanno una proprietà in comune. Le caratteristiche di un insieme sono: un elemento può appartenere o non appartenere ad un determinato insieme; un elemento non può comparire più di una volta in un insieme; l'ordine non ha alcuna importanza nell'elenco degli elementi; gli elementi di un insieme lo caratterizzano in modo univoco ossia due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi. Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto (A, B; C; ....) mentre gli elementi con quelle minuscole (a, b, c, ...). Si usa il termine appartiene per indicare che un elemento a è elemento dell'insieme A con la seguente simbologia: a A (se non appartiene a A)
Sottoinsieme	Un insieme B è sottoinsieme di B se tutti i suoi elementi sono anche elementi di A. Il sottoinsieme si dice proprio se non coincide con A (ossie esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B) altrimenti il sottoinsieme è detto improprio. Si usa il termine incluso per indicare che un insieme B è sottoinsieme dell'insieme A con la seguente simbologia: B A (se è improprio B A, se non è incluso B A)
Universo	"Ambiente" in cui si formano insiemi.
Rappresentazione
Per tabulazione	Elenco degli elementi che appartengono all'insieme. Esempio: insieme dei numeri naturali minori di 8 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Per proprietà o criterio	Descrizione del criterio di formazione dell'insieme Esempio: insieme dei numeri naturali minori di 8 (criterio) A = {x \| x N e x<8} (si legge: A è l'insieme di quegli elementi x tali che (\|) ogni elemento x appartiene () ai numeri naturali (N) e ogni elemento x è minore di 8)
Diagrammi di Eulero - Venn	Rappresentazione grafica di un insieme Esempio: insieme dei numeri naturali minori di 8
Insiemi particolari e insiemi numerici
Insieme vuoto	Insieme senza elementi, si indica con
Insiemi numerici	Numeri naturali, simbolo N; numeri interi, simbolo Z; numeri razionali, simbolo Q; numeri reali, simbolo R.
Operazioni tra insiemi
Unione	L'unione di due insiemi A e B è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B. Simbolo dell'operazione A B. Esempio: A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 3, 6, 9, 12} A B = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12} L'operazione è commutativa.
Intersezione	L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A e a B. Simbolo dell'operazione A B. Esempio: A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 3, 6, 9, 12} A B = {0, 6} L'operazione è commutativa.
Complementare	Il complementare di un insieme A rispetto ad un universo U è costituito da tutti gli elementi dell'universo che non appartengono ad A, si indica con . Esempio: A = {x \| x N e x > 8} = {x \| x N e x < 9} cioè = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Universo = Numeri naturali) Il complementare di un sottoinsieme B di A è costituito da tutti gli elementi dell'insieme Ache non appartengono ad B.
Prodotto cartesiano	Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme che ha come elementi tutte le coppie ordinate (x,y) tali che x sia un elemento di A e y un elemento di B. Simbolo dell'operazione A B. Esempio: A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} A B ={(1,a), (1, b), (1, c), (2,a), (2, b), (2, c), (3,a), (3, b), (3, c)} L'operazione non è commutativa.
Partizione	Una partizione di un insieme A è una collezione di sottoinsiemi dell'insieme A che abbia queste propietà: nessun sottoinsieme deve essere vuoto; i sottoinsiemi non devono avere elementi in comune (disgiunti); l'unione dei sottoinsiemi deve dare l'insieme A. Esempio: i numeri pari e i numeri dispari sono una partizione dell'insieme N dei numeri naturali