Introduzione alle funzioni

Le funzioni

Viene detta funzione (o applicazione oppure mappa) una qualsiasi relazione tra due insiemi A e B, che ad ogni elemento x di A associa uno ed uno solo elemento y di B.


Questa relazione è una funzione perchè ad ogni elemento dell'insieme A corrisponde uno solo elemento dell'insieme B	Questa relazione non è una funzione perchè all'elemento a dell'insieme A corrispondono gli elementi x e y dell'insieme B

Questa relazione non è una funzione perchè all'elemento c dell'insieme A non corrisponde nessun elemento dell'insieme B	Questa relazione è una funzione perchè ad ogni elemento dell'insieme A corrisponde uno solo elemento dell'insieme B (anche se a z dell'insieme B corrispondono b e c dell'insieme A). La relazione tra ciascun elemento di A e gli elementi di B è sempre uno a uno

È una funzione la relazione "x è la capitale di y" quando è posta tra l'insieme A delle città capitali e l'insieme B delle nazioni (ad ogni città capitale corrisponde un unico stato) mentre non è più una funzione se l'insieme A è l'insieme delle città (ci sono città che non sono capitali di nessun stato).
L'insieme "di partenza" della funzione viene detto dominio mentre quello "d'arrivo" codominio; gli elementi del codominio che sono i corrispondenti degli elementi del dominio sono detti immagini.

Una funzione si dice iniettiva quando ciascuna immagine del codominio della funzione è immagine di un solo elemento del dominio. La funzione "x ha per quadrato y" con dominio l'insieme N (insieme dei numeri naturali) e codominio sempre N è iniettiva; infatti ogni numero naturale x elevato al quadrato da un numero naturale y (ma non è vero il contrario ossia non tutti i numeri naturali sono il quadrato di un numero naturale: 2 non è il quadrato di nessun n. naturale).

Una funzione si dice suriettiva quando tutti gli elementi del codominio sono immagini di almeno un elemento del dominio. La funzione "x è una città di y" con dominio l'insieme A delle città e codominio l'insieme B delle nazioni è suriettiva.

Una funzione si dice biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva ossia se ad ogni elemento dell'insieme "di partenza" A corrisponde uno ed un solo elemento dell'insieme "di arrivo" B, e viceversa ad ogni elemento di B corrisponda uno ed un solo elemento di A.
Una funzione biiettiva viene anche detta biunivoca (o corrispondenza biunivoca).
La funzione "x è la capitale di y" con dominio l'insieme A delle città capitali e codominio l'insieme B delle nazioni è biiettiva.

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi, che hanno una proprietà in comune. Le caratteristiche di un insieme sono:

Un elemento può appartenere o non appartenere ad un determinato insieme;
un elemento non può comparire più di una volta in un insieme;
l'ordine non ha alcuna importanza nell'elenco degli elementi;
gli elementi di un insieme lo caratterizzano in modo univoco ossia due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.

(Vedi la scheda Insiemi)

Una relazione (o corrispondenza) tra due insiemi A e B è un qualsiasi collegamento tra gli elementi di A e quelli di B. La relazione comprenderà tutte le coppie (x; y) di elementi dei due insiemi che si corrispondono nella relazione (questo tipo di relazione è detta relazione binaria).
Le relazioni binarie si esprimono attraverso enunciati (o proposizioni) con questa forma

x R y (enunciato aperto o frase aperta)

Un esempio
Consideriamo l'insieme A delle regioni d'Italia, l'insieme B delle città italiane e la relazione

R: x ha come città y

L'insieme di tutte le coppie (Piemonte, Cuneo; Lombardia, Mantova; Lombardia, Pavia; Veneto, Venezia; Veneto, Verona; .....) che si possono formare tra gli elementi di A (Piemonte, Lombardia, Veneto, Lazio, ....) e gli elementi di B (Pavia, Cuneo, Venezia, Verona, Mantova, ...) e gli insiemi A e B costituiscono la relazione R.

Una relazione binaria risulta perciò costituita da tre insiemi:

l'insieme "di partenza" (A);
l'insieme "d'arrivo" (B);
l'insieme delle coppie ordinate (G) che si corrispondono nella relazione. Questo insieme è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra l'insieme A e quello B.